Nhóm Lorentz là một nhóm con của nhóm Poincaré- nhóm của tất cả isometries của không gian Minkowski. Các phép biến đổi Lorentz, chính xác, là isometries cố định i gốc tọa độ. Do đó, nhóm Lorentz là một nhóm con đẳng hướng của nhóm không gian Minkowski. Vì lý do này, nhóm Lorentz đôi khi được gọi là nhóm Lorentz đồng nhất trong khi nhóm Poincaré đôi khi được gọi là nhóm Lorentz không đồng nhất. Các phép biến đổi Lorentz là các ví dụ về phép biến đổi tuyến tính; hình học chung của không thời gian chồn là những biến đổi affine. Về mặt toán học, nhóm Lorentz có thể được mô tả như là là nhóm trực giao tổng quát O (1,3), nhóm Lie ma trận bảo tồn dạng bậc hai

( t , x , y , z ) ↦ t 2 − x 2 − y 2 − z 2 {\displaystyle (t,x,y,z)\mapsto t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}

trên R 4. Dạng bậc hai này, khi được đặt ở dạng ma trận (xem nhóm trực giao cổ điển), được giải thích trong vật lý như là tensor matric của không thời gian Minkowski.

Nhóm Lorentz là nhóm Lie thực sáu chiều không compact, không abelian và không kết nối. Bốn thành phần được kết nối không chỉ đơn giản là kết nối.[1] Thành phần nhận dạng (nghĩa là thành phần chứa đơn vị nhận dạng) của nhóm Lorentz tự nó là một nhóm và thường được gọi là nhóm Lorentz bị hạn chế và được ký hiệu là SO + (1,3). Các nhóm Lorentz hạn chế bao gồm những biến đổi Lorentz mà giữ gìn tính định hướng không gian và định hướng thời gian, và nó có thể được mô tả bằng biquaternions. Nhóm cơ bản của nó có thứ tự 2, và vỏ bọc phổ quát của nó, nhóm spin không xác định Spin (1,3), hóa ra là đẳng cấu với nhóm tuyến tính đặc biệt SL (2, C).

Nhóm Lorentz bị hạn chế phát sinh theo những cách khác trong toán học thuần túy. Ví dụ, nó phát sinh như là nhóm đối xứng điểm của một phương trình vi phân nhất định. Điều này cũng có nhiều ý nghĩa vật lý.

Các thành phần được kết nối

nón ánh sáng trong không gian 2D cộng với chiều thời gian.

Bởi vì nó là một nhóm Lie, nhóm Lorentz O (1,3) vừa là một nhóm vừa thừa nhận một mô tả tô pô là một đa tạp trơn, nó có bốn thành phần kết nối. Theo trực giác, điều này có nghĩa là nó bao gồm bốn mảnh tách rời về mặt tôpô.

Bốn thành phần được kết nối có thể được phân loại theo hai thuộc tính biến đổi mà các thành phần của nó có:

• một số phần tử được đảo ngược theo các phép biến đổi Lorentz đảo ngược thời gian, ví dụ, một vectơ thời gian tương lai sẽ được đảo ngược thành một vectơ chỉ hướng quá khứ
• một số thành phần có định hướng bị đảo ngược bởi các phép biến đổi Lorentz improper, ví dụ, một số vierbein (tetrads)

Biến đổi Lorentz mà giữ gìn hướng của thời gian được gọi là orthochronous Nhóm con của các phép biến đổi trực giao thường được ký hiệu là O + (1,3). Phép biến đổi bảo toàn sự định hướng được gọi là proper và như các phép biến đổi tuyến tính, chúng có det +1. (Các phép biến đổi Lorentz improper có định thức −1). Nhóm con của các phép biến đổi Lorentz proper được ký hiệu là SO (1,3).

Nhóm con của tất cả các phép biến đổi Lorentz bảo toàn cả định hướng và hướng thời gian được gọi là nhóm Lorentz proper, trực giao hoặc nhóm Lorentz bị hạn chế và được ký hiệu là SO + (1, 3). (Lưu ý rằng một số tác giả đề cập đến SO (1,3) hoặc thậm chí O (1,3) khi chúng thực sự có nghĩa là SO + (1, 3).)

Tập hợp của bốn thành phần được kết nối có thể được cung cấp một cấu trúc nhóm là nhóm thương số O (1,3) / SO + (1,3), là đẳng cấu của nhóm Klein 4 chiều. Mọi phần tử trong O (1,3) có thể được viết dưới dạng thành phẩm semidirect của một phép biến đổi proper, trực giao và một phần tử của nhóm rời rạc

{1, P, T, PT }

Trong đó P và T là toán tử đảo ngược không gian và toán tử đảo ngược thời gian:

P = diag (1, 1, 1, 1)T = diag (1, 1, 1, 1).

Do đó, một phép biến đổi Lorentz tùy ý có thể được chỉ định là một phép biến đổi Lorentz proper, trực giao cùng với hai bit thông tin khác, chọn ra một trong bốn thành phần được kết nối. Mô hình này là nhóm điển hình của một nhóm Lie hữu hạn chiều.